Chapter1: 使用函数构建抽象

高阶函数

作为一般方法的函数

sum_naturals()

>>> def sum_naturals(n):
        total, k = 0, 1
        while k <= n:
            total, k = total + k, k + 1
        return total
>>> sum_naturals(100)
5050

sum_cube()

>>> def sum_cubes(n):
        total, k = 0, 1
        while k <= n:
            total, k = total + pow(k, 3), k + 1
        return total
>>> sum_cubes(100)
25502500

sum_pi()

$\pi=\frac{8}{1 \cdot 3}+\frac{8}{5 \cdot 7}+\frac{8}{9 \cdot 11}+\dots$

>>> def pi_sum(n):
        total, k = 0, 1
        while k <= n:
            total, k = total + 8 / (k * (k + 2)), k + 4
        return total
>>> pi_sum(100)
3.121594652591009

这三个函数在背后都具有相同模式。它们大部分相同，只是名字、用于计算被加项的k的函数，以及提供k的下一个值的函数不同。我们可以通过向相同的模板中填充槽位来生成每个函数：

def <name>(n):
    total, k = 0, 1
    while k <= n:
        total, k = total + <term>(k), <next>(k)
    return total

对于以上三个函数我们可以抽象成以下函数:

>>> def summation(n, term, next):
        total, k = 0, 1
        while k <= n:
            total, k = total + term(k), next(k)
        return total

要注意summation接受上界n，以及函数term和next作为参数。我们可以像任何函数那样使用summation，它简洁地表达了求和。

sum_cube()

>>> def cube(k):
        return pow(k, 3)
>>> def successor(k):
        return k + 1
>>> def sum_cubes(n):
        return summation(n, cube, successor)
>>> sum_cubes(3)
    36

sum_pi()

def pi_term(k):
    return 8 / (k * (k + 2))

def pi_next(k):
    return k+4

def sum_pi(n):
    return summation(n, pi, next)

>>> pi_sum(1e6)
    3.1415906535898936

计算黄金分割比(gold ratio)

$\phi = 1 + \frac{1}{\phi}$

>>> def golden_update(guess):
        return 1/guess + 1
>>> def golden_test(guess):
        return near(guess, square, successor)
>>> iter_improve(golden_update, golden_test)
1.6180371352785146

$Lambda$ 表达式

Python 中，我们可以使用 Lambda 表达式凭空创建函数，它会求值为匿名函数。Lambda 表达式是函数体具有单个返回表达式的函数，不允许出现赋值和控制语句。
1
2
   lambda            x            :          f(g(x))
"A function that    takes x    and returns     f(g(x))"

1	def compose1(f, g):
2	    return lambda x: f(g(x))
3	
4	f = compose1(lambda x: x * x,
5	             lambda y: y + 1)
6	result = f(12)

抽象和一等函数

作为程序员，我们应该留意识别程序中低级抽象的机会，在它们之上构建，并泛化它们来创建更加强大的抽象。这并不是说，一个人应该总是尽可能以最抽象的方式来编程；专家级程序员知道如何选择合适于他们任务的抽象级别。但是能够基于这些抽象来思考，以便我们在新的上下文中能使用它们十分重要。高阶函数的重要性是，它允许我们更加明显地将这些抽象表达为编程语言中的元素，使它们能够处理其它的计算元素。

通常，编程语言会限制操作计算元素的途径。带有最少限制的元素被称为具有一等地位。一些一等元素的“权利和特权”是：